OPERASI HITUNG BILANGAN BULAT
A. Pengertian Bilangan bulat
|
| Bilangan bulat adalah bilangan yang terdapat pada garis bilangan yang terdiri dari bilangan bulat negatif, bilangan 0 dan bilangan bulat positif. |
Bilangan bulat dapat ditulis : ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...
B. Sifat-sifat operasi bilangan bulat
1. Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat
Penjumlahan adalah operasi yang mengkaitkan pasangan elemen (a,b) dengan elemen c, dengan bentuk c = a + b.
a. Sifat Tertutup
Operasi penjumlahan pada bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat, entah itu bilangan bulat negatif, bilangan 0, atau bilangan bulat positif.
· 5 + (-3) = 2
5 bilangan bulat, -3 bilangan bulat, 5 + (-3) = 2 juga bilangan bulat.
· -7 + 3 = -4
-7 bilangan bulat, 3 bilangan bulat, -7 + 3 = -4 juga bilangan bulat.
b. Sifat Komutatif
Jika a + b maka hasilnya akan sama dengan b + a.
1) a + b = b + a
Contoh : 4 + 5 = 5 + 4 = 9
2) (-a) + (-b) = (-b) + (-a)
Contoh : (-4) + (-5) = (-5) + (-4) = -9
3) (-a) + b = b + (-a)
Contoh : (-4) + 5 = 5 + (-4) = 1
4) a + (-b) = (-b) + a
Contoh: (-5) + 4 = 4 + (-5) = -1
c. Sifat Asosiatif
Jika (a + b) + c = a + (b + c)
Contoh : (5 + 6) + 3 = 5 + (6 + 3) = 14
d. Penjumlahan dengan bilangan nol
0 merupakan unsur identitas (elemen netral) pada penjumlahan. Untuk sembarang bilangan bulat a, berlaku:
a + 0 = 0 + a = a
Contoh : 10 + 0 = 0 + 10 = 10
e. Penjumlahan bilangan bulat dan lawannya (invers) adalah nol
Jika a + (-a) = 0
Contoh : 5 + (-5) = 0
Soal Latihan !
1. 9 + 8 = ...
2. (-15) + (-37) = ...
3. 17 + (-9) = ...
4. (-35) + 21 = ...
5. (8 + 17) + 5 = ...
6. 19 + (6 + 3) = ...
7. 0 + 52 = ...
8. 54 + 0 = ...
9. (-27) + 27 = ...
10. 37 + (-37) = ...
2. Sifat Pengurangan Bilangan Bulat
Pengurangan adalah operasi antara dua unsur yang merupakan kebalikan dari operasi penjumlahan; pengurangan b dari a disimbolkan dengan a – b = c.
a. Sifat Tertutup
Operasi pengurangan pada bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat, entah itu bilangan bulat negatif, bilangan 0, atau bilangan bulat positif.
Contoh :
1) 7 – 12 = -5
7 bilangan bulat, 12 bilangan bulat, 7 – 12 = -5juga bilangan bulat.
2) (-5) – 12 = -17
-5 bilangan bulat, 12 bilangan bulat, (-5) – 12 = -17juga bilangan bulat.
3) (-8) – (-3) = (-8) + 3 = -5
-8 bilangan bulat, 3 bilangan bulat, (-8) + 3 = -5 juga bilangan bulat.
b. Sifat Pengurangan Bilangan Nol
a – 0 = a Contoh : 5 – 0 = 5
0 – a = -a Contoh : 0 – 5 = -5
0 – 0 = 0
Latihan Soal !
1) 8 – 25 = ...
2) (-11) – 7 = ...
3) (36) – (-17) = ...
4) (-28) – (-15) = ...
5) 0 – 17 = ...
6) 20 – 0 = ...
7) 0 – (-4) = ...
8) (-19) – 0 = ...
9) (-13) – (-29) = ...
10) (-54) – (-19) = ...
3. Sifat Perkalian Bilangan Bulat
Perkalian adalah operasi yang menggabungkan dua besaran a dan b menjadi besaran c = a x b.
a
|
b
|
a x b
|
(+)
|
(+)
|
(+)
|
(+)
|
(-)
|
(-)
|
(-)
|
(+)
|
(-)
|
(-)
|
(-)
|
(+)
|
a. Sifat Tertutup
Operasi perkalian pada bilangan bulat selalu menghasilkan bilangan bulat, entah itu bilangan bulat negatif, bilangan 0, atau bilangan bulat positif.
Contoh :
1) 2 x 4 = 8
2 bilangan bulat, 4 bilangan bulat, 2 x 4 = 8 juga bilangan bulat.
2) -3 x 5 = -15
-3 bilangan bulat, 5 bilangan bulat, -3 x 5 = -15 juga bilangan bulat.
3) (-8) x (-5) = 40
-8 bilangan bulat, -5 bilangan bulat, (-8) x (-5) =40 juga bilangan bulat.
b. Sifat Komutatif
Jika a x b = b x a
Contoh : 5 x 4 = 4 x 5 = 20
c. Sifat Asosiatif Perkalian
Jika (a x b) x c = a x (b x c)
Contoh : (4 x 5) x 6 = 4 x (5 x 6) = 120
d. Sifat Distributif Perkalian
1) Sifat Distributif Perkalian terhadap Penjumlahan
a x (b + c) = (a x b) + (a x c) (distributif kiri)
(a + b) x c = (a x c) + (b x c) (distributif kanan)
Contoh :
1) 10 x (11 + 4) = (10 x 11) + (10 x 4)
= 110 + 40
= 150
2) (10 + 11) x 4 = (10 x 4) + (11 x 4)
= 40 + 44
= 84
2) Sifat Distributif Perkalian terhadap Pengurangan
a x (b - c) = (a x b) - (a x c) (distributif kiri)
(a - b) x c = (a x c) - (b x c) (distributif kanan)
Contoh :
1) 10 x (11 - 4) = (10 x 11) - (10 x 4)
= 110 - 40
= 70
2) (10 - 11) x 4 = (10 x 4) - (11 x 4)
= 40 - 44
= -4
e. Sifat Bilangan Satu pada Perkalian
Jika a x 1 = 1 x a = a
Contoh : 8 x 1 = 1 x 8 = 8
f. Sifat Bilangan Nol pada Perkalian
Jika 0 x a = a x 0 = 0
Contoh : 0 x 4 = 4 x 0 = 0
Latihan Soal !
1) 15 x 17 = ...
2) -4 x 7 = ...
3) 34 x -3 = ...
4) (-8) x (-6) = ...
5) (17 x 2) x 4 = ...
6) 15 x (10 x 2) = ...
7) 4 x (8 - 5) = ...
8) (14 + 12) x 3 = ...
9) 0 x 259 = ...
10) 576 x 1 = ...
4. Sifat Pembagian Bilangan Bulat
Pembagian adalah operasi balikan dari perkalian ; hasil bagi atau a : b dari dua bilangan a dan b adalah c. Jika a, b bilangan bulat; b ¹ 0 dan b adalah pembagi dari a maka a : b = c sama artinya dengan b × c = a.
a
|
b
|
a : b
|
(+)
|
(+)
|
(+)
|
(+)
|
(-)
|
(-)
|
(-)
|
(+)
|
(-)
|
(-)
|
(-)
|
(+)
|
Contoh :
Misalnya : a = 8, b = 2, c = 4
a : b = c sama artinya dengan b x c = a
8 : 2 = 4 sama artinya dengan 2 x 4 = 8
a. Pembagian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Positif
Jika bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat positif maka menghasilkan bilangan bulat positif.
Contoh : 8 : 2 = 4 sebab 4 x 2 = 8
b. Pembagian Bilangan Bulat Positif dengan Bilangan Bulat Negatif
Jika bilangan bulat positif dibagi dengan bilangan bulat positif maka menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh : 8 : -4 = -2 sebab -2 x -4 = 8
c. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Positif
Jika bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat positif maka menghasilkan bilangan bulat negatif.
Contoh : -6 : 3 = -2 sebab -2 x 3 = -6
d. Pembagian Bilangan Bulat Negatif dengan Bilangan Bulat Negatif
Jika bilangan bulat negatif dibagi dengan bilangan bulat negatif maka menghasilkan bilangan bulat postif.
Contoh : -8 : -2 = 4 sebab 4 x -2 = -8
e. Pembagian dengan Nol
Untuk sembarang bilangan cacah a, selalu berlaku :
f. Pembagian Bilangan 1 atau Elemen Identitas
Dalam pembagian bilangan bulat berlaku sifat identitas tetapi tidak identitas komutatif.
a : 1 = a 
1 : a = 
Contoh : 5 : 1 = 5 1 : 5 = 
atau 0,2
Latihan Soal !
1) 50 : 5 = ...
2) 125 : (-5) = ...
3) -64 : 8 = ...
4) (-30) : (-10) = ...
5) 354 : 0 = ...
6) 678 : 1 = ...
7) (-45) : (-8) = ...
8) (-642) : 6 = ...
9) 810 : 9 = ...
10) 70 : (-5) = ...
C. Operasi Hitung Campuran Bilangan Bulat
1. Operasi Hitung
Urutan langkah pengerjaan:
a. Operasi hitung dalam kurung harus dikerjakan terlebih dahulu
b. Perkalian dan pembagian dikerjakan urut dari depan
c. Penjumlahan dan pengurangan dikerjakan urut dari depan
d. Perkalian dan pembagian didahulukan daripada penjumlahan dan pengurangan.
Contoh :
1.480 : (1.015 – 995) + 567 = (1.480 : 20) + 567
= 74 + 567
= 641
2. Operasi Hitung Dalam Soal Cerita
Urutan langkah pengerjaan:
a. Perhatikan soal secara seksama kemudian ubah soal cerita yang ada ke dalam bentuk soal angka
b. Kerjakan soal sesuai dengan urutan langkah pengerjaan operasi hitung.
Contoh :
Seluruh peserta diklat akan disediakan 60 kamar hotel. Setiap kamar dihuni oleh 2 orang. Dalam pembagian tugas, panitia akan membagi menjadi 12 kelompok. Setiap kelompok terdiri dari ... orang.
Jawab :
60 x 2 : 12 = 120 : 12 = 10 kamar.
Latihan Soal !
1) 500 + 75 x 12 = ...
2) 152 + 848 : 8 – 9 x 17 = ...
3) 128 : (-16) + 80 x 2 = ...
4) 825 + (-136) – (26 x 4) = ...
5) 6 x (-51) + (-12 x (-14)) = ....
6) Dita mempunyai pensil sebanyak 12 kotak. Setiap kotak berisi 5 buah pensil. Semua pensil yang dita punya tersebut dibagikan untuk acara amal kepada 30 yatim piatu. Maka setiap yatim piatu mendapat... pensil.
7) Ririn mempunyai manik-manik yang disimpan dalam 24 kaleng. Setiap kaleng berisi 132 butir manik-manik. Karena kalengnya rusak, Ririn ingin memindahkan semua manik-maniknya ke dalam 8 kaleng yang baru. Banyak butir manik-manik yang ada di setiap kaleng yang baru adalah ... buah
8) Sebuah pesawat terbang berada pada ketinggian 3.000 meter diatas permukaan laut. Seekor ikan paus berada di kedalaman 200 meter di bawah permukaan laut. Jika pesawat itu turun sejauh 100 meter ke arah permukaan laut, maka jarak pesawat dengan ikan paus adalah ... meter
9) Paman membeli 8 bungkus permen. Setiap bungkus berisi 48 butir permen. Permen tersebut dibagikan kepada 24 anak. jika setiap anak mendapat permen sama banyak, setiap anak mendapat ... butir permen.
10) Pak Tono membawa 4 keranjang jeruk yang masing-masing berisi 50 buah. Akan dibagikan kepada 3 orang tetangga dengan jumlah masing-masing 35 buah, 60 buah, dan 70 buah. Sisa jeruk Pak Tono adalah ... buah.
3. Penaksiran dan Pembulatan
a. Penaksiran Hasil Operasi Hitung
Menaksir merupakan kegiatan memperkirakan hasil yang mendekati hasil sebenarnya. Untuk menaksir hasil operasi hitung, perhatikan hal-hal sebagai berikut:
1) Kedudukan angka di sebelah kanan angka yang akan ditaksir.
2) Bila di sebelah kanan angka yang ditaksir adalah 5 atau lebih besar dari 5, maka bulatkan angka tersebut ke atas
3) Bila di sebelah kanan angka yang ditaksir lebih kecil dari 5, maka bulatkan angkat tersebut ke bawah.
Contoh :
Taksirlah hasil penjumlahan dari 21+47 dalam puluhan terdekat.
Jawab:
Ditaksir dalam puluhan terdekat, angka yang diperhatikan adalah angka yang menempati satuan.
21 dibulatkan menjadi 20
47 dibulatkan menjadi 50
Jadi, taksiran 21+47 kira-kira 20 + 50 = 70
b. Pembulatan Hasil Operasi Hitung
Pembulatan dapat dilakukan ke satuan, puluhan,ratusan, atau ribuan terdekat. Pembulatan hasil operasi hitung dilakukan setelah diketahui hasilnya.
Contoh:
Bulatkan hasil operasi hitung 157 + 247 dalam puluhan terdekat!
Jawab:
157 + 247 = 404
404 dibulatkan dalam puluhan terdekat menjadi 400.
Latihan Soal !
Bulatkan hasil operasi hitung di bawah ini ke puluhan terdekat!
1) 135 + 78 = ...
2) 921 + 22 = ...
3) 578 – 65 = ...
4) 553 – 71 = ...
5) 98 + 110 = ...
6) 573 + 140 = ...
7) 41 + 997 = ...
8) 282 – 201 = ...
9) 1.078 – 579 = ...
10) 1997 + 2017 = ...
